CC1 données sur l’`iris`

Solution

Consignes

Vous disposez de 90 minutes pour résoudre les questions suivantes.
Répondez seul, n’utilisez pas Internet ni l’IA. Vous serez disqualifié si je le constate !
Écrivez vos réponses sous les questions si elles sont du texte (je donne la longueur attendue) ou insérez votre code dans le chunk R.
Vous devez écrire du code R uniquement lorsque je vous demande de remplacer les ____.
Seulement dans la question bonus, vous devez écrire du code R entièrement par vous-même.
Sinon, exécutez simplement le code que j’ai préparé.
Vous pouvez gagner des points supplémentaires en répondant à la question bonus (4 points en plus).
Il y a 30 points au total. Planifiez votre temps en conséquence.
Quand vous avez fini, enregistrez et téléchargez le document, puis envoyez-le moi via ESPADON.

Important : Exécutez ce chunk R avant de commencer pour charger les bons paquets et les données :

Question 1

1 point

Dans le TP, nous utilisions souvent les données penguins. Les données elles-mêmes (c’est-à-dire penguins) sont-elles un objet R ou une fonction R ?

Solution

penguins est un objet.

Question 2

1 point

Nous avons utilisé mean() pour calculer la moyenne, par exemple d’une colonne. Est-ce que mean() est une fonction R ou un objet R ?

Solution

mean() est une fonction.

Question 3

2 points

Les données iris sont aussi souvent utilisées dans les exemples. Elles contiennent des données pour différentes espèces d’iris, par exemple des mesures de la largeur et de la longueur du pétale et du sépale :

Créer un graphique avec ggplot() : à partir des données iris, représentez la colonne Sepal.Length sur l’axe x et Sepal.Width sur l’axe y. Utilisez des couleurs différentes pour les espèces Species. Vous pouvez consulter les données dans l’onglet environnement. Remplacez uniquement les ____ !

Solution

ggplot(data = iris, aes(x = Sepal.Length, y = Sepal.Width, colour = Species)) +
  geom_point() +
  labs(x = "Sepal Length (mm)", y = "Sepal Width (mm)") +
  theme_light() +
  theme(legend.position = "bottom")

Question 4

4 points

A

2 points

Regardez le graphique que vous venez de réaliser. Si vous n’avez pas réussi à le faire, demandez-moi et je vous le montrerai. Pensez-vous qu’il existe une relation entre la longueur et la largeur des sépales ? Décrivez le type de relation (positive, négative, pas de relation).

Solution

Il existe une relation positive entre la longueur des sépales (Sepal.Length) et leur largeur (Sepal.Width).

B

2 points

Pensez-vous qu’il est biologiquement et statistiquement raisonnable d’inclure l’espèce comme variable explicative dans un modèle ? Par exemple si vous vous attendez à une pente différente selon l’espèce.

Solution

Il semble biologiquement plausible qu’il existe des différences dans la forme des sépales (définie par leur longueur et leur largeur) entre les espèces. Il est donc logique d’inclure la variable Species dans un modèle.
D’après le graphique, la relation entre Sepal.Length et Sepal.Width semble dépendre de l’Species. Il est donc statistiquement pertinent de prendre en compte l’Species dans le modèle de régression, soit pour inclure des pentes différentes entre les espèces, soit pour considérer des ordonnées à l’origine différentes.

Question 5

1 point

Calculez pour chaque espèce (nom de colonne Species) la moyenne, le minimum et le maximum de la longueur du sépale (nom de colonne Sepal.Length) des données iris. Remplacez uniquement les ____ :

Solution

iris %>%
  group_by(Species) %>%
  summarise(
    mean_sepal_length = mean(Sepal.Length),
    min_sepal_length = min(Sepal.Length),
    max_sepal_length = max(Sepal.Length)
  )

# A tibble: 3 × 4
  Species    mean_sepal_length min_sepal_length max_sepal_length
  <fct>                  <dbl>            <dbl>            <dbl>
1 setosa                  5.01              4.3              5.8
2 versicolor              5.94              4.9              7  
3 virginica               6.59              4.9              7.9

Question 6

6 points

Considérez le modèle et la sortie suivants :

# model
m_iris <- lm(Sepal.Width ~ Species, data = iris)

# anova output
anova(m_iris)

Analysis of Variance Table

Response: Sepal.Width
           Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
Species     2 11.345  5.6725   49.16 < 2.2e-16 ***
Residuals 147 16.962  0.1154                      
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

A

1 point

Quelle est la variable réponse (la variable que vous voulez prédire) ?

Solution

La variable réponse est Sepal.Width.

B

1 point

Quelle est la variable explicative (celle que vous utilisez pour prédire la variable réponse) ?

Solution

La variable explicative est Species.

C

1 point

Regardez la sortie de anova() ci-dessus. La largeur des sépales diffère-t-elle statistiquement entre les espèces et pourquoi ?

Solution

Oui, la largeur des sépales varie statistiquement d’une espèce à l’autre, car la p-value (2,2e-16) est inférieure au niveau d’alpha de 0,05.

D

2 points

Faites un test post-hoc :

estimate_contrasts(model = m_iris, p_adjust = "tukey")

We selected `contrast=c("Species")`.

Marginal Contrasts Analysis

Level1     | Level2     | Difference |   SE |         95% CI | t(147) |      p
------------------------------------------------------------------------------
versicolor | setosa     |      -0.66 | 0.07 | [-0.79, -0.52] |  -9.69 | < .001
virginica  | setosa     |      -0.45 | 0.07 | [-0.59, -0.32] |  -6.68 | < .001
virginica  | versicolor |       0.20 | 0.07 | [ 0.07,  0.34] |   3.00 |  0.009

Variable predicted: Sepal.Width
Predictors contrasted: Species
p-value adjustment method: Tukey

et tracez les moyennes et intervalles de confiance estimés par le modèle :

estimate_means(model = m_iris) %>%
  plot()

We selected `by=c("Species")`.

Quelles paires diffèrent significativement entre elles ?

Solution

Toutes les paires présentent des différences statistiquement significatives les unes par rapport aux autres. La différence absolue de largeur des sépales est la plus élevée entre versicolor et setosa (-0,66 mm), suivie de celle entre virginica et setosa (-0,45 mm). La différence entre virginica et versicolor est plus faible (0,20 mm) et il existe un léger chevauchement entre leurs intervalles de confiance, mais la p-value du test post-hoc (0,009) reste inférieure au niveau alpha de 0,05.

E

1 point

Quand on effectue de nombreux tests sur les mêmes données, comme ces tests post-hoc, pourquoi faut-il ajuster les p-values ?

Solution

Lorsqu’on effectue de nombreux tests simultanément, la probabilité de commettre au moins une erreur de type I (faux positif) augmente. C’est pourquoi il est nécessaire d’ajuster les p-values (par exemple avec la correction de Tukey) pour maintenir un taux d’erreur global acceptable.

Question 7

5 points

Considérez maintenant ce modèle pour une seule espèce :

# filter data
iris_setosa <- iris %>%
  filter(Species == "setosa")

# model
m_iris_setosa <- lm(Sepal.Width ~ Sepal.Length, data = iris_setosa)

# output
summary(m_iris_setosa)


Call:
lm(formula = Sepal.Width ~ Sepal.Length, data = iris_setosa)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-0.72394 -0.18273 -0.00306  0.15738  0.51709 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)   -0.5694     0.5217  -1.091    0.281    
Sepal.Length   0.7985     0.1040   7.681 6.71e-10 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.2565 on 48 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.5514,    Adjusted R-squared:  0.542 
F-statistic: 58.99 on 1 and 48 DF,  p-value: 6.71e-10

A

1 point

La relation entre Sepal.Width et Sepal.Length est-elle positive ou négative ?

Solution

La relation entre Sepal.Width et Sepal.Length est positive, puisque la pente (0,7985) est positive.

B

1 point

Cette relation est-elle statistiquement significative, et pourquoi ?

Solution

Cette relation est significative, car la p-value (6,71e-10) est inférieure au niveau d’alpha de 0,05.

C

2 points

Quelle proportion de la variance est expliquée par le modèle (dans ce cas, par Sepal.Length) ? Donnez la valeur en pourcentage.

Solution

La valeur R² correspond à la variance expliquée par le modèle. Ici, elle est de 0,5514, ce qui correspond à 55,14 %.

D

1 point

Considérez l’ordonnée à l’origine (intercept) estimé et la pente donnés dans la sortie summary(). Quelle est la largeur de sépale attendue pour une longueur de sépale de 5 mm ? Vous pouvez arrondir à deux chiffres. Rappel :

\[y = a + b \cdot x\]

où \(y\) est la valeur attendue de la variable réponse, \(a\) l’ordonnée à l’origine (intercept), \(b\) la pente, et \(x\) une valeur de la variable explicative numérique.

Rappelez-vous que vous pouvez utiliser R pour ce calcul, par exemple :

3 + 5 * 7

[1] 38

Solution

L’ordonnée à l’origine est de -0,5694, et la pente de 0,7985:

\[ \begin{aligned} y &= -0.5694 + 0.7985 * x \\ y &= -0.5694 + 0.7985 * 5~\text{mm} \\ y &= 3.4231~\text{mm} \end{aligned} \]

Question 8

4 points

A

1 point

Quelles sont les trois principales hypothèses des modèles linéaires ?

Solution

L’indépendance des observations
L’homoscédasticité
La normalité des résidus

B

3 points

Expliquez brièvement chaque hypothèse.

Solution

L’indépendance des observations : Chaque observation doit être indépendante des autres — il ne doit pas y avoir de structure (par ex. mesures répétées, corrélation spatiale ou temporelle, échantillonnage hiérarchique).
L’homoscédasticité : La variance des résidus doit être constante quelle que soit la valeur de la variable explicative (variance homogène).
La normalité des résidus : Les résidus (différences entre valeurs observées et prédites) doivent suivre approximativement une distribution normale.

Question 9

2 points

Regardez ce QQ-plot.

check_normality(m_iris_setosa) %>%
  plot()

Pensez-vous que les résidus sont normalement distribués ?

Solution

Les résidus observés (représentés par des points) suivent la droite correspondant à une distribution normale des résidus. On constate de légers écarts aux extrémités, mais l’intervalle de confiance englobe cette droite, ce qui suggère que les résidus sont normalement distribués.

Question 10

2 points

Regardez ce graphique qui fait partie de check_model().

# load data
dat_model_checks <- read.csv(here("exam/CC1/data/dat_model_checks.csv"))

# model
m_var <- lm(y_var ~ x_var, data = dat_model_checks)

# assess variance
check_model(m_var, check = "homogeneity")

La variance est-elle égale/constante sur tout l’intervalle de la variable explicative (1 point) ?

Solution

La variance augmente avec les valeurs moyennes. On le voit à la dispersion plus importante des points pour les valeurs estimées plus élevées, ainsi qu’à la pente positive de la ligne verte. On parle alors d’hétéroscédasticité et l’hypothèse d’homoscédasticité n’est donc pas vérifiée.

Pourquoi cela impacterait-il un modèle linéaire (1 point) ?

Solution

Les modèles linéaires supposent une variance constante ; le non-respect de l’hypothèse d’homoscédasticité conduit à des estimations biaisées des p-values et des intervalles de confiance. Il est donc impossible de se fier aux résultats d’un tel modèle.

Question 11

2 points

Regardez ce plan d’échantillonnage.

Le diamètre des oeufs de poisson-clown (dans le cercle orange à la base de l’anémone) a été mesuré sur trois anémones à deux sites avec des températures d’eau différentes (chaud en haut, froid en bas).

A

1 point

Pensez-vous que toutes les mesures (observations individuelles des oeufs) sont indépendantes ou y a-t-il une structure ?

Solution

Les données présentent une certaine structure. Dans le modèle, vous comparez les deux sites (vous souhaitez donc disposer de conditions différentes). Mais sur chaque site, vous avez mesuré plusieurs œufs sur trois anémones. Il s’agit de pseudo-répétitions, car elles correspondent aux conditions locales de chaque anémone, et non aux conditions générales du site !

B

1 point

Pourquoi est-ce important pour les modèles linéaires ?

Solution

Si le modèle considère la pseudo-réplication (réplicats au niveau de chaque anémone) comme un véritable réplicat, les p-values et les intervalles de confiance seront biaisés.

Bonus Question

4 points en plus

A

1 point en plus

Prenez les données iris et évaluez l’impact de Petal.Width et Species sur Petal.Length avec un modèle linéaire incluant une interaction. Cela correspond au graphique de la Question 3. Vous devez écrire votre propre code R.

Solution

m_iris_spec <- lm(Petal.Length ~ Petal.Width * Species, data = iris)

B

1 point en plus

Interprétez le modèle (vous devez écrire votre propre code R). La pente diffère-t-elle significativement selon les espèces ?

Solution

anova(m_iris_spec)

Analysis of Variance Table

Response: Petal.Length
                     Df Sum Sq Mean Sq   F value    Pr(>F)    
Petal.Width           1 430.48  430.48 3294.5561 < 2.2e-16 ***
Species               2  13.01    6.51   49.7891 < 2.2e-16 ***
Petal.Width:Species   2   2.02    1.01    7.7213 0.0006525 ***
Residuals           144  18.82    0.13                        
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Étant donné que l’interaction entre la largeur des pétales et l’espèce est significative (la p-value de Petal.Width:Species est de 0,0006525), la pente varie d’une espèce à l’autre de manière significative.

C

2 points en plus

Vérifiez les hypothèses du modèle avec check_model() (vous devez écrire votre propre code R). Pensez-vous qu’une des trois hypothèses principales est violée ? Expliquez pourquoi.

Solution

check_model(m_iris_spec)

Ces visualisations mettent en évidence certains problèmes dans le modèle. L’hypothèse de normalité est sur le point d’être violée, car on observe un écart important entre les résidus observés et la droite correspondant à une distribution normale. Cependant, l’intervalle de confiance englobe toujours cette droite, ce qui rend cette violation acceptable.

La variance augmente toutefois avec les valeurs moyennes. L’hypothèse d’homoscédasticité semble également violée.

Par ailleurs, vous pouvez analyser un tel ensemble de données de manière plus appropriée en utilisant un modèle GLM avec une distribution gamma (les données ne peuvent être que positives).